UNIDAD IV ...:::... Series ..:::...

TEMARIO DE UNIDAD 4 


(Calculo Integral)


4.1   Definición de serie.
           4.1.1   Infinita.
           4.1.2   Finita
4.2   Serie numérica y convergencia. Prueba de razón y raiz.
4.3   Serie de potencias.
4.4   Radio de convergencia.
4.5   Serie de Taylor.
4.6   Representación de funciones mediante serie de Taylor.
4.7   Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.  

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4.1 Definición de Serie

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos  como:

donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir:

Las series convergen o divergen. En cálculo, una   serie diverge si   

 no existe o si tiende a infinito; puede converger si 

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4.1.1 Serie Infinita

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.

Son series de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.

Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:

Teorema:

Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .

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4.1.2 Serie Finita

Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) 

y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.

 La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.

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4.2 Serie numérica y convergencia. Prueba de razón y raíz 

 Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos ), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.

---- Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)

Sea una serie  , tal que a_k > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

con  , el Criterio de D'Alembert establece que:

§    si L < 1, la serie converge.

§    si L > 1, entonces la serie diverge.

§    si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

---- Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie  , tal que a_k > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo 

Entonces, si:

§      L < 1, la serie es convergente.

§      L > 1 entonces la serie es divergente.

§      L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.


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4.3 Serie de potencias

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

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4.4 Radio de convergencia

Llamamos serie de potencias a toda expresión  del tipo

en donde  Es decir

 Es interesante saber cuáles son los valores de x Î R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes. 

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4.5 Serie de Taylor

Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas, en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función esta dado por:

Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = x_i+1 - x_i  expresando la serie de Taylor como: 

Uso de la expansión en serie de Taylor para aproximar una función con un número infinito de derivadas.

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4.6   Representación de funciones mediante serie de Taylor

 Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:   

 Existen series de Taylor para: Función exponencial y función Coseno.

Funcion e 

Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como más sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.

                                                                 f(x)=e(x).... f(o)=1

Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una idea de como se comporta la función. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la función se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie